Ejercicio Practico sobre el Clima de Villavicencio

Tomando en cuenta la información suministrada por el IDEAM sitio web:

(http://bart.ideam.gov.co/cliciu/villao/temperatura.htm)

Construir un modelo del clima de la Ciudad de Villavicencio y simular usando el método de Cadenas de Markov, el clima de los siguientes seis meses.

SOLUCIÓN

Ejercicio 2

 La peatonal de mi pueblo tiene 6 cuadras de largo, que van de norte a sur, como tengo una moneda, se me ocurre tirarla y caminar una cuadra hacia el norte si sale cara o una cuadra hacia el sur si sale sello. continuo hasta salir de la peatonal, ya sea hacia el norte o hacia el sur. Si comienzo justo en la mitad ¿Cuántas cuadras caminare hasta llegar a cualquiera de las esquinas?.

Ejercicio 1

 Después de muchos estudios sobre el clima hemos visto que si un día esta soleado en el 70% de los casos el día siguiente continué soleado y un 30% continué nublado.También nos fijamos que si un día esta nublado la probabilidad de que este soleado el día siguiente en de 60%. ¿Hoy esta nublado cual es la probabilidad de que mañana este nublado? ¿Cuál es la probabilidad de que este nublado pasado mañana?

• La probabilidad de que mañana este nublado es de 40%.

• La probabilidad de que pasado mañana este nublado es: 34 %

Cadena de Markov

 CADENA DE MARKOV

Las cadenas de markov son modelos probabilísticos que se usan para predecir la evolución y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.

Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinámica de las averías de máquinas para decidir política de mantenimiento; evolución de una enfermedad,…

•          Una Cadena de Markov (CM) es:

•          Un proceso estocástico

•          Con un número finito de estados (M)

•          Con probabilidades de transición estacionarias

•          Que tiene la propiedad markoviana

•           

PROCESO ESTOCASTICO

• Es un conjunto o sucesión de variables aleatorias: {X(t)CG } definidas en un mismo espacio de probabilidad.

• Normalmente el índice t representa un tiempo y X(t) el estado del proceso estocástico en el instante t.

• El proceso puede ser de tiempo discreto o continuo si G es

discreto o continuo.

• Si el proceso es de tiempo discreto, usamos enteros para

representar el índice: {X1, X2, ...}

ELEMENTOS DE UNA CADENA DE MARKOV

o   Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)

o   Ciclo de markov (“paso”) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar  las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)

o   Probabilidades de transición entre estados, en un ciclo (matriz P)

o   Distribución  inicial del sistema entre los M estados posibles

PROPIEDAD MARKOVIANA

Un proceso estocástico tiene la propiedad markoviana si las probabilidades de transición en un paso sólo dependen del estado del sistema en el período anterior (memoria limitada)

P⁽ⁿ⁾ es la matriz de transición en n pasos, de orden (M+1)x(M+1)

PRUEBAS ESTADISTICAS PARA LOS NUMEROS PSEUDO ALEATORIOS

PRUEBAS ESTADISTICAS

Puesto que en el muestreo Monte Carlo cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc.), es obtenida a partir de números aleatorios uniformes (0,1), el principal énfasis en las pruebas estadísticas deberán ser con respecto al generador de los números aleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números aleatorios. Por ello se aplicarán algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los mismos, lo cual significa que la ocurrencia de un número aleatorio no determina la ocurrencia del siguiente y así sucesivamente.

Para la uniformidad

• Bondad de ajuste o CHI-cuadrada: X²
• Bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov

Para la aleatoriedad o independencia

• Corridas por arriba y por abajo del promedio

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA.

Procedimiento:

1. Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N.

2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos.

3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n.

4. Calcular el estadístico de prueba.

5. Comparar el valor calculado X0² contra el valor tabulado de la distribución X², con (n-1) grados de libertad y una significancia ?. Si X0² es menor que X²(n-1),? entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Procedimiento

1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N.

2. Ordenar dichos números en orden ascendente.

3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente
expresión

Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso 2.

4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo siguiente

D_n = máx | F_n (X_i) – X_i | para toda X_i

5. Si D_n es menor d_alfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de D_nha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando F_n (x) = F₀ (x).

CORRIDAS POR ARRIBA Y POR ABAJO DEL PROMEDIO

Procedimiento

Generar la muestra de tamaño N de números aleatorios.

Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el criterio siguiente:

Si r_j es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a r_j el símbolo 0.

Si r_j es mayor a 0.50 entonces asignarle a r_j el símbolo 1.

La frecuencia esperada para cada longitud de corrida i, es:

Qué es la simulación de MonteCarlo?

La simulación de MonteCarlo es una técnica cuantitativa que hace uso de la estadística y los ordenadores para imitar, mediante modelos matemáticos, el comportamiento aleatorio de

sistemas reales no dinámicos (por lo general, cuando se trata de sistemas cuyo estado va cambiando con el paso del tiempo, se recurre bien a la simulación de eventos discretos o bien a la simulación de sistemas continuos). 

La clave de la simulación MC consiste en crear un modelo matemático del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema. 

Una vez identificados dichas variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en:

(1) generar – con ayuda del ordenador- muestras aleatorias (valores concretos) 

(2) analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. 

Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos será de utilidad para entender el funcionamiento del mismo –obviamente, nuestro análisis será tanto más preciso cuanto mayor sea el número n de experimentos que llevemos a cabo.

MÉTODOS CONGRUENCIALES PARA GENERAR NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS.

 MÉTODOS CONGRUENCIALES

Se han desarrollado básicamente tres métodos de congruenciales para generar números pseudoaleatorios, los cuales se derivan del empleo de diferentes versiones de la relación fundamental de congruencia. El objetivo de cada uno de los métodos es la generación en un tiempo mínimo, de sucesiones de números aleatorios con periodos máximos. Los métodos congruenciales son: el aditivo, el multiplicativo y el mixto. 

1. Método Congruencial Aditivo:

Calcula una sucesión de números pseudoaleatorios mediante la relación Xn+1= Xn +Xn-k (mod M). Para usar este método se necesitan k valores iniciales, siendo k entero. Las propiedades estadísticas de la secuencia tienden a mejorarse a medida que k se incrementa. 

Este es el único método que produce periodos mayores que M. 

2. Método Congruencial Multiplicativo: 

Calcula una sucesión Xn de enteros no negativos, cada uno de los cuales es menor que M mediante la relación Xn+1= a.Xn (mod M). Es un caso especial de la relación de congruencia en que c=0, este método se comporta de manera satisfactoria estadísticamente, es decir, los 

números generados por medio de este método están unifórmente distribuidos, y pero se pueden imponer condiciones en a y X0 de tal forma que se obtenga el periodo máximo. Desde el punto de vista computacional es el más rápido de todos. 

  

3. Método Congruencial Mixto o Lineal:

Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de números pseudoaleatorios en la cual el próximo número pseudoaleatorio es determinado a partir del último número generado, es decir, el número pseudoaleatorio Xn+1 es derivado a partir del número pseudoaleatorio Xn La relación de recurrencia para el generador congruencial mixto es Xn+1 =(a Xn+c) mod m, en donde 

 X0 = es la semilla 

 a =el multiplicador 

 c = constante aditiva 

 m = el modulo (m > X0, a,c) 

 X0, a, c >0 

Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a Xn+c entre el modulo. Lo anterior significa que los valores posibles de Xn+1 son 0,1,2,3 ....m-1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes que pueden ser generados. 

MÉTODOS ARITMÉTICOS PARA GENERAR NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS.

 1. Métodos de Cuadrados Medios:

El procedimiento de obtención de números pseudoaleatorios con este tipo de generador es el siguiente: 

• Se define una semilla. 

• Se eleva la semilla al cuadrado. 

• Dependiendo de la cantidad de dígitos que se desea tenga el número pseudoaleatorio, se toman de la parte central del número resultante en el paso anterior el número de dígitos requeridos. Si no es posible determinar la parte central, se completa el número agregando ceros al principio o al final.  

• Debe tenerse en cuenta que se desean números pseudoaleatorios entre 0 y 1, en consecuencia el resultado se debe normalizar, es decir, si los números son de dos dígitos se normaliza dividiendo por 100, si es de tres dígitos por mil y así sucesivamente. 

2. Método de Producto medio: 

Este método es un poco similar al anterior pero se debe comenzar con dos semillas cada una con k dígitos, el número resultante se toma como las cifras centrales del producto de los dos números anteriores.

Por ejemplo, tomando como semillas a X0 =13 y X1 =15 el método 

sería el siguiente: 

X2 = (13*15)= 0195 = 19, luego R2 =19 / 100 = 0.19. 

X3 = (15*19) = 0285 = 28, luego R3 = 28 / 100 = 0.28. 

X4 = (19*28) = 0532 = 53, luego R4=53 / 100 = 0.53. 

3. Método del producto medio modificado: 

Consiste en usar una constante multiplicativa en lugar de una variable. Es decir Xn+1 = (K*Xn). Debe notarse que los métodos anteriores tienen periodos relativamente cortos, los cuales son afectados grandemente por los valores iniciales que se escojan, además son estadística mente insatisfactorios. También debe tenerse en cuenta que un generador con un periodo corto no sirve para hacer un número considerado de ensayos de simulación.

QUE SON LOS NÚMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS, Y PARA QUE SIRVEN?

Los números aleatorios tienen la propiedad de ser obtenidos al azar, es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección de uno no depende de la elección del otro. La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado. 

Los números pseudo aleatorios son números generados en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente, de aquí el prefijo pseudo que quiere decir falso, ya que su generación parte de algoritmos determinísticos, lo cual nos quiere decir que obtendremos siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales. Estas condiciones se refieren a varios parámetros de arranque, siendo el valor inicial, también llamado semilla, el denominador común de todos los algoritmos. 

Estos números tienen la característica de que deben seguir una distribución Uniforme, es decir que pueden tomar cualquier valor dentro del intervalo (0, 1), entonces podemos decir que los números pseudo aleatorios son números entre 0 y 1 que han pasado por un tamizado de pruebas para poder determinar que tendrán una función aproximada a la realidad es decir, haya aleatoriedad. La función de los números pseudo aleatorios es que a partir de ellos podemos generar variables aleatorias las cuales están sujetas en el mayor de los casos, a distribuciones estadísticas que son las que se usan para establecer el comportamiento de materiales, sucesos, personas, etc., en todo proceso de simulación. 

¿Para qué y cómo se usan dichos números? Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de losmodelos de simulación fundamentalmente porque las sucesiones de númerospseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios.

Clase 6. Ejercicio 7

			Clase	02	09	2013
Alumno	Mayerly Murcia Acosta		Facultad	Ingeniería Industrial
Semestre	VIII		Jornada	Nocturna
Institución	Unimeta		Materia	Simulación
Docente	Ing. Ramiro Polanco		Tema	Ejercicio 7

Clase 5. Ejercicio 6

			Clase	28	08	2013
Alumno	Mayerly Murcia Acosta		Facultad	Ingeniería Industrial
Semestre	VIII		Jornada	Nocturna
Institución	Unimeta		Materia	Simulación
Docente	Ing. Ramiro Polanco		Tema	Ejercicio 6

EJERCICIO 6

Un supermercado opera con tres cajas el gerente usa la siguiente tabla para determinar la cantidad de cajas en operación.

Número de clientes	Número de cajas
1 a 3	1
4 a 6	2
>6	3

Los clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con una frecuencia media de 10clientes/hora, el tiempo promedio de atención es exponencial con 12min. Calcular la probabilidad del estado estable de que hallan n clientes en las cajas.

Distribución de Kendal  (M/M/3) : ( DG/∞/∞)

ln = l = 10clientes/h

µ =  5 clientes/h ; 0 ≤ n ≤ 3

     10 clientes/h ; 4 ≤ n ≤ 6

           15           ;   n > 6

n	Pn
0
1	(10/5)*P0	2P0
2	(10/5)^2*P0	4P0
3	(10/5)^3*P0	8P0
4	(10/5)^3(10/10)*P0	8P0
5	(10/5)^3(10/10)^2*P0	8P0
6	(10/5)^3(10/10)^3*P0	8P0
7	8(2/3)^n-6
8	8(2/3)^n-6
9	8(2/3)^n-6
…

 Realizar suma:

Sln: La probabilidad de que 1 caja este abierta cuando hay 3 clientes es de 25.5%.  La probabilidad de que 2 cajas estén abiertas cuando hay 6 clientes es de 43.6%