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Clase
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21
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08
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2013
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Alumno
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Mayerly Murcia Acosta
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Facultad
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Ingeniería Industrial
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Semestre
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VIII
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Jornada
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Nocturna
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Institución
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Unimeta
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Materia
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Simulación
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Docente
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Ing. Ramiro Polanco
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Tema
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Taller Investigativo
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Investigar
1. ¿QUE ES UNA SUCESIÓN?
Una sucesión es un
conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
1.1 LA
REGLA
Una sucesión sigue una regla que
te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo:
la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la
regla debería ser una fórmula!
Decir que
"empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula
el:
- 10º
término,
- 100º
término, o
- n-ésimo
término (donde n puede ser cualquier número
positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con
"n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla
para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión
sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 ×
n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n
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Término
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Prueba
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1
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3
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2n =
2×1 = 2
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2
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5
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2n =
2×2 = 4
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3
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7
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2n =
2×3 = 6
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Esto casi funciona...
pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo
que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
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Término
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Regla
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1
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3
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2n+1
= 2×1 + 1 = 3
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2
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5
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2n+1
= 2×2 + 1 = 5
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3
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7
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2n+1
= 2×3 + 1 = 7
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¡Funciona!
Así que en vez de decir
"empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...}
es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos
calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Para que sea más fácil escribir
las reglas, normalmente lo hacemos así:
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Posición
del término
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Es
normal usar xn para los términos:
- xn es el término
- n es la posición de ese término
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Así que
para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5
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Entonces podemos escribir la
regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el
10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1
= 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término?
¿Y el 500º?
Ahora
veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
1.2 TIPOS DE SUCESIONES
1.2.1 SUCESIONES ARITMÉTICAS
El ejemplo que acabamos de usar,
{3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la
diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4,
7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
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Esta
sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
3, 8,
13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
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Esta
sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
1.2.2 SUCESIONES GEOMÉTRICAS
En una sucesión geométrica cada
término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.Ejemplos:
2, 4,
8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
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Esta
sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
3, 9,
27, 81, 243, 729, 2187, ...
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Esta
sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
Esta
sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
1.2.3 SUCESIONES ESPECIALES
1, 3,
6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
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Esta sucesión se genera a partir
de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente
número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El
quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el
sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números
cuadrados
1, 4,
9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
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El siguiente número se calcula
elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn =
n2
Números
cúbicos
1, 8,
27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
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El siguiente número se calcula
elevando al cubo su posición.
La regla es xn =
n3
2. ¿QUÉ ES UNA SERIE?
"Sucesiones" y
"series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie
es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con
el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
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Esto
significa "suma de 1 a 4" = 10
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Esto
significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"
Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} =
3+5+7+9 = 24
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3. ¿ QUE ES UNA DISTRIBUCIÓN?
Una distribución o función generalizada es
un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida.
Además
la noción de distribución sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones
localmente integrables y a entes aún más generales. Su uso es
indispensable en muchos campos de las matemáticas, la física y la ingeniería. Así, por ejemplo, se utiliza en el análisis
de Fourier para
obtener soluciones generalizadas de ecuaciones
en derivadas parciales.
También juegan un papel muy importante en electrodinámica
cuántica y
en procesamiento
de señales.
3.1 TIPOS DE DISTRIBUCIONES
3.1.1 DISTRIBUCIONES ORDINARIAS
Las
distribuciones ordinarias son el dual topológico de las funciones suaves de soporte compacto. Dada una sucesión en el conjunto , se define la siguiente convergencia:
Si
y sólo si:
- Existe
un conjunto acotado B que contiene los soportes de
todas la funciones .
- La
sucesión converge uniformemente a en B.
Ese
tipo de convergencia convierte al conjunto en
un espacio topológico . Las distribuciones ordinarias serán
por tanto las funciones continuas respecto a dicha convergencia (o
equivalentemente la topología generada). Es decir si f es una distribución convencional se
cumplirá que:
3.1.2
DISTRIBUCIONES TEMPERADAS
Las
distribuciones temperadas constituyen una subclase de distribuciones
convencionales. Técnicamente son el dual topológico del espacio
de Schwartz ,
formado por funciones suaves de decrecimiento rápido. El espacio de funciones
de decrecimiento rápido generaliza el espacio ,
más concretamente . El espacio de
Schwartz de funciones de decrecimiento rápido es interesante porque permite
definir la transformada de Fourier con toda generalidad. Además siempre es
posible definir la transformada de Fourier no sólo de funciones de
decrecimiento rápido, sino también de distribuciones temperadas.
4. ¿QUÉ
ES TRUNCAR?
Truncar suprime
la parte fraccionaria de un número. Entero
redondea los números al entero menor más próximo, según el valor de la porción
fraccionaria del número. entero y truncar son diferentes solamente cuando
se usan números negativos: TRUNCAR(-4,3) devuelve -4, pero ENTERO(-4,3) devuelve -5, ya que -5 es el número entero menor más cercano.
Ejemplos
TRUNCAR(8,9) es igual a 8
TRUNCAR(-8,9) es igual a -8
TRUNCAR(PI()) es igual a 3
CIBERGRAFIA
·
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html
·
http://www.uv.es/~castros/docencia/informatica/matematicas.htm
